初二代数问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/04/27 16:03:35
找规律
观察 1*2*3*4+1=5的平方
2*3*4*5+1=11的平方
3*4*5*6+1=10的平方
……
1、写出一个普遍性的结论，并给出证明
2、根据（1），计算2000*2001*2002*2003+1的结果（用一个最简式子表示）

首先，题你抄错了第三应该是19的平方。
N*（N+1）*（N+2）*（N+3）+1=〖（N+1）*（N+2）-1〗的平方。
证明：当N=1时N(N+1)(N+2)(N+3)＋1－〖（N+1）（n+2）－1〗2=0
设当N=K时K(K+1)(K+2)(K+3)＋1－〖（K+1）（K+2）－1〗2=0成立
有当N=K+1时：(K+1)(K＋2)(K+3)（K+4）＋1－〖（K+2）（K+3）－1〗2= K(K+1)(K+2)(K+3)+4(K+1)(K+2)(K+3)+1－〖【（K+1）（K+2）－1】+2（K+2）〗2= K(K+1)(K+2)(K+3) +1－〖（K+1）（K+2）－1〗2+4(K+1)(K+2)(K+3)－4（K+2）【（K+1）（K+2）－1】－〖2（K+2）〗2=4(K+1)(K+2)(K+3)－4（K+2）【（K+1）（K+2）－1】－〖2（K+2）〗2=4(K+1)(K+2)(K+3)－4（K+2）【（K+1）（K+2）－1＋（K+2）】=4(K+1)(K+2)(K+3)－4（K+2）（K2＋3K＋2－1＋K＋2）=4(K+1)(K+2)(K+3)－4（K+2）（K2＋4K＋3）=0也成立
即证

N*(N+1)*(N+2)*(N+3)={(N+1)*(N+2)-1}的平方

原式=(2001*2002-1)的平方
=4006001的平方
=16048044012001

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n(n+3)+1)的平方
等式右边用完全平方公式打开为:
n的平方*(n+3)的平方+2n(n+3)+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1
n的平方*(n+3)的平方+2n(n+3)=n(n+1)(n+2)(n+3)
同时约去n
n*(n+3)的平方+2(n+3)=(n+1)(n+2)(n+3)
同时约去(n+3)
n*(n+3)+2=(n+1)(n+2)
n的平方+3n+2=n的平方+3n+2
结论得证!下一题看别人的就行了!
累死我了!加分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!