高中竞赛的一个三角函数题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 11:36:41
题是这样的 x,y,z 属于【0，90°】，cosx+cosy+cosz=1,S=tan(x/2)+tan(y/2)+tan(z/2) 的最小值为？
个别符号打不出 请各位将就了
可不可以把 第一个回答再详细点
为什么设为三角形三边 以及后面的步骤 偶都很迷糊 谢谢啦

令cosx=k,cosy=l,cosz=m
则S=tan{x/2}+tan{y/2}+tan{z/2}
={(1-k)/(1+k)}^{1/2}+{(1-m)/(1+m)}^{1/2}+{(1-l)/(1+l)}^{1/2}
={(m+l)/(m+n+l+n)}^{1/2}+{(m+n)/(m+n+l+l)}^{1/2}+{(n+l)/(m+n+l+m)}^{1/2}
令a=k+l,b=l+m,c=k+m
则abc为三角形三边
且S=sum{a/(b+c)}^{1/2}

易证{a/(b+c)}^{1/2}>=(2a)/(a+b+c)
所以S>=2
且x=y=pi/2,z=0时，S=2,
所以最小值为2

假设xyz均不=0，由tan(x/2)=(1-conx)/sinx及题设知，1-conx>0,而(1/sinx）》1，故tan(x/2)>>1-conx.同理知，tan(y/2)>>1-cony,tan(z/2)>>1-conz,三式相加得S>>3-(conx+cony+conz)=2。故S小=2.

2楼的是经典正确答案~