已知,如图,在RT三角形ABC中,角ABC=90,

题目中AO=x,应改为AP=x

设OB=OE=OD=R
在RT三角形AOD中,
AO^2=OD^2+AD^2
(1+R)^2=R^2+4
R=3/2
AO=1+R=5/2
AB=AO+BO=4

如AP=AD,则x=AD=2,三角形PAD是等腰三角形

如AP<AD,则:当AP=PD时,三角形PAD是等腰三角形
这时,角PDA=角A
角PDO=角ADO-角PDA=90度-角A=角AOD
三角形OPD为等腰三角形
PO=PD=AP
AP=(1/2)AO=5/4
x=5/4

如AP>AD,作DF垂直AO于F
三角形ODF相似于三角形ODA
OD^2=OF*AO
OF=OD^2/AO=9/10
AF=AO-OF=8/5
如AP=2AF=16/5,即x=16/5 (AP=16/5<4=AB,所以这个P点是存在的）
则DF是三角形APD的边AP上的中线,又是垂线
所以:AD=DP,三角形APD是等腰三角形

综合以上,
当x=2,5/4,16/5时,以P,A,D为顶点的三角形是等腰三角形

以M为直角顶点的等腰直角三角形

证明：(在本证明中，D点介于M、B之间。但处于其它位置的情况也是同理）
连接 AM，拟首先证明 △AEM≌△BFM

M是BC中点，AM是∠A的平分线，所以∠EAM=45度=∠FBM
AEDF是矩形，△DFB是等腰直角三角形，所以 EA=DF=BF
△AMB是等腰直角三角形，所以 MA=MB

以上三条决定了 △AEM≌△BFM
因此
ME=MF
∠EMA=∠FMB

∠FMB+∠AMF=∠AMB=90度
所以∠EMA+AMF=∠EMF=90度

因此 △MEF为 等腰直角三角形。

题目中AO=x,应改为AP=x

设OB=