在△ABC中,∠BCA=2∠A,AC=2BC,求证∠ABC=90°

因为 ∠BCA = 2∠A
所以 一定能在 AC 之间找到一点D, 使得 ∠BDC = ∠BCD
(假设 D 在 CA 延长线上, ∠A > ∠BDC; 假设 D 在 AC 延长线上, 则∠BCA > ∠BDC , 所以 D 一定在 AC 之间)

∠BDC 是三角形 BDA的外角, 则
∠BDC = ∠A + ∠ABD
又因为
∠BDC = ∠BCD = 2∠A
所以
∠A = ∠ABD

因此 三角形 DBA 和 三角形 BDC 都是等腰三角形
DA = DB
BD = BC

所以 DA = BC

又因为
AC = 2BC
所以 D 是 AC 中点
DA = DB = DC = BC
所以 三角形 BDC 是等边三角形
∠C = 60°
∠A = ∠C /2 = 30°
∠ABC = 180 - ∠C - ∠A = 90°

在 AC 上取D, 使 BC = BD
但是 首先必须论证 D 一定在 AC 之间, 而不是两侧延长线上. 这点不能遗漏