已知a,b,c为三角形三边长,关于x的方程(a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根……

题意为
[2(a+b+c)]^2-12(a^2+b^2+c^2)=0
约去4得 (a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3(a^2+b^2+c^2)=0
化简得2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
配方得(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
故只有a-b=0 b-c=0 a-c=0
既a=b=c

(a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根

4(a+b+c)^2-4*3*(a^2+b^2+c^2)=0
-2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a-b=0
b-c=0
c-a=0
a=b=c
此三角形为正三角形

只要证明[2(a+b+c)]^2-4*3*(a^2+b^2+c^2)=0即可

4(a+b+c)^2-4*3*(a^2+b^2+c^2)=0
-2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a-b=0
b-c=0
c-a=0
a=b=c