AD是BC边的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且角MDN=90度，如果BM^2+CN^2=DM^2+DN^2，求证

此题主要是勾股定理及其逆定理和全等三角形的有关知识的应用.要作比较复杂的辅助线,只要作好辅助线,也不难证明.

延长ND到E使得DE=DN,
根据D是BC的中点，DE=DN，可证△BED全等于△CND（SAS）
得∠DBE=∠C，BE=CN.
因为∠MDN=90°
所以∠MDE=90°
所以DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
因为BM^2+CN^2=DM^2+DN^2
所以BM^2+BE^2=BM^2+CN^2=DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
即BM^2+BE^2=ME^2
所以∠MBE=90°
所以∠MBD+∠DBE=90°
所以∠MBD+∠C=90°
因为∠BAC+∠MBD+∠C=90°
所以∠BAC=90°
所以 AB^2+AC^2=BC^2,BC=2AD(在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
所以AB^2+AC^2=（2AD）^2=4AD^2
即AD^2=1/4(AB^2+AC^2)

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证明:延长AD到E,使AD=DE,连结BE,延长ND交BE于点F,连结MF,MN.

(证明思路:由勾股定理得:DM^2+DN^2=MN^2,证到MN=MF,由BM^2+CN^2=DM^2+DN^2得到BM^2+CN^2=MF^2,容易证到CN=BF,利用勾股定理的逆定理从而得出<ABE是直角,得到AB^2+BE^2=AE^2,不难证明到BE=AC,AE=2AD,从而得证.)

AD=DE,BD=DC,<BDE=<ADC
△ADC和△BDE全等
BE=AC,<BED=<DAC==>AC//BE==><EBD=<ACD
<BDF=<CDN,AD=ED
△BDF和△NDC全等==>BF=NC,FD=DN
角M