矩阵的秩证明

原题应为
m*n矩阵的秩为1的充要条件是有m个不全为零的a(1),..,a(M)和n个b(1),...,b(N),使得对任意为i=1,2,..,M,j=1,2,...,N有a(ij)=a(i)*b(j).
证明 充分性,对任意确定的i,j,由
a(ik)=a(i)*b(k),a(jk)=a(j)*b(k),k=1,2,...,N
a(j)*a(ik)=a(i)*a(j)*b(k)=a(i)*a(jk),k=1,2,...,N
矩阵的第i行与第j行线性相关,由i,j的任意性,矩阵的任意两行均线性相关,故矩阵的秩小于2,由a(1),..,a(M)和n个b(1),...,b(N)不全为零,矩阵至少有1行不全为零,故矩阵的秩为1.
必要性 矩阵的秩为1,至少矩阵有一行不全为零,设b(1),..,b(N)是矩阵不全为零的行,由矩阵的秩为1,故矩阵的任意行(包括该行)均能被该行线性表出,设矩阵的第i行(i=1,2,...,M)等于该行的a(i)倍,则矩阵的第i行的元素为a(i)*b(1),..,a(i)*b(N),此时存在m个不全为零的a(1),..,a(M)和n个b(1),...,b(N),有a(ij)=a(i)*b(j).

充分性：
若已知两个向量A,B。其中A=[a（1），。。。a(M)],B=[b（1），。。b（N)],则：a的转置×b 就是一个m*n矩阵，记为C，而且满足c（ij）=a（m）b（n）
根据公式:
r(A的转置)＋r(B)－1<=r(C)<=min{r(A的转置)，r(B)}
所以1<=r(C)<=1。于是只能r(C)=1。

必要性：
就是矩阵的“满秩分解定理”。这是《矩阵论》的内容，《线性代数》中可能不介绍。我简单说一下：

C是m×n矩阵，R（C）＝1，则C一定分解成A*B，其中A是m*1矩阵，B是1*n矩阵。

证明：
C一定能通过初等行列变换变成如下矩阵
1 0 0 ...0 0
0 0 0 ...0 0
0 0 0 ...0 0
...
0 0 0