高一不等式 正数a，b满足

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 12:45:16
正数a，b满足a+b=1 求ab的取值范围
求(a+a^-1)^2+（b+b^-1)^2的最小值(a^-1表示a分之一）

解：
(1) ab<=[(a+b)/2]^2=1/4;

（2） (a+a^-1)^2+（b+b^-1)^2

>=[(a+1/a+b+1/b)^2]/2
>=[(2+2) ^2]/2
>=8
当且仅当a=b=1时，取得最小值8.

第二问重要的是要理解(a^2+b^2)>=2ab这条公式的意义是，两个正数的平方和总是不会比这两个数的乘积的两倍小，并且a，b的值越小，该试值越小。例如5与3的平方和，不算也知道，肯定大于或等于30；500与10000的平方和肯定大于或等于10000000。为什么肯定呢？这里面就要我们去思考。数学的乐趣就在于我们可以通过数学发现宇宙中确定的事件背后所隐藏的必然的原因。

常用结论：
（1）平方展开式(a+b)^2=(a^2+b^2)+2ab 中， (a^2+b^2) 与 (a+b)^2 与 2ab 的关系:

(a^2+b^2)>=[(a+b)^2]/2>=2ab;（ 递减式）

（2）ab<=[(a+b)/2]^2 （递增式）

上了大学这些知识就很少用到了，除了高等数学多元函数的极值可能会用到，其他就很少涉及。但是高等数学是理工科的基础，如果是理科的话记住这些简单的基本结论对你以后的学习提高绝无坏处。
希望我的解释对你有帮助。

1.
ab<=[(a+b)/2]^2
=1/4

2.
(a+1/a)^2+（b+1/b)^2

>=(a+1/a+b+1/b)^2/2
=(1+1/a+1/b)^2/2
=[1+(a+b)/a+(a+b)/b]^2/2
=[3+(b/a)+(a/b)]^2/2
>=[3+2]^2/2
=25/2