高难度自然对数方程

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 16:22:29
2X^2-114X-8lnX-m =0 有唯一解，求 m 的值。
对不起笔误 2X^2-14X-8lnX-m =0 有唯一解，求 m 的值。

其实这道题一点都不难，至少我这么看，应该不需要插值和或者逼近公式。需要作出图像来，由于做图不方便我转为阐述，希望你别介意
解答如下
解：方程化为x^2/4-7x/4-m/8=lnx
令f1(x)=x^2/4-7x/4-m/8,f2(x)=lnx
分析f1(x),显然此函数的形状已定，只是最小值点在对称轴x=7/2上移动的一个抛物线
如果此方程只有唯一解，则我们可以试着找出f1(x)与f2(x)相切时的切点
从而两者在某一点上拥有相同的切线，也就是说，在这一点上，两函数的切线重合
这样导数f1'(x)=f2'(x),又f1'(x)=x/2-7/4,f2'(x)=1/x,且x>0
从而整理后有方程
2x^2-7x-4=0
这样舍去负值，x=4
则对于f2(x),得到点A(4,ln4)
点A(4,ln4)显然也在f1(x)
得到m=-24-16ln2
从而得到m的值为-24-16ln2

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