高中数学题目一道

嗯，是个好题目，虽然没有分，还是回答一下吧。
首先明确以下两点：
1.奇数的最大奇因数是他本身
2.偶数的最大奇因数是他的所有奇质因数的乘积

再说明一个结论：
若m=2n，则有N(m)=N(n)

这样上面这道题就简单了
不断地筛去奇数，留下偶数，再除以2之后重复这个过程，就可以求出Sn的值
但是为了方便，我们不这样求Sn
而是采用递推的方法解决
易知Sk=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+……+N(2^k-1)+N(2^k)
S(k+1)=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+……+N(2^(k+1)-1)+N(2^(k+1))
=N(1)+N(3)+……+N(2^(k+1)-1)+N(2)+N(4)+……+N(2^(k+1))
=1+3+5+……+2^(k+1)-1+[N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+……+N(2^k-1)+N(2^k)]
=4^k+Sk
即有S(k+1)=4^k+Sk
两边同除以4^(k+1)得：
S(k+1)/4^(k+1)=1/4(Sk/4^k+1)
令Sk/4^k=ak
则有：
a(k+1)=1/4(ak+1)
即a(k+1)-1/3=1/4(ak-1/3)
故{ak-1/3}是等比数列
易知a1-1/3=S1/4-1/3=[N(1)+N(2)]/4-1/3
=1/6
故a(k+1)-1/3=1/6*(1/4)^(k-1)
故a(k+1)=1/6*(1/4)^(k-1)+1/3
故Sk=ak*4^k=[1/6*(1/4)^(k-1)+1/3]*4^k
=2/3+1/3*4^k
即Sn=（4^n+2）/3

或者简单一点：
S(k+1)=4^k+Sk
故S(k+1)-Sk=4^k
这样，分别令k=1，2，3……n-1，得到n-1个式子，将它们相加，有：
Sn-S1=4*[1-4^(n-1)]/(1-4)
=[4^n-4]/3
故Sn=