函数f(x+y)+f(x-y)=2*f(x)*f(y)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/27 04:31:56
定义在实数集上的函数f(x)，对任意x,y属于R，有f(x+y)+f(x-y)=2*f(x)*f(y)且f（0）不等于0
（1）求证：f（0）=1；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若存在正数C，使f(c/2)=0,求证对任意x属于R，有f(x+c)=-f(x)成立。

（1）让x=y=0，得到f(0+0)+f(0-0)=2*f(0)*f(0)
即 2f(0)*(f(0)-1)=0，因为f(0)不等于0，所以f(0)=1。
（2）f(0+x)+f(0-x)=2*f(0)*f(x)=2f(x)，所以f(-x)=f(x)，f(x)是偶函数。
（3）f(x+c)+f(x)=f((x+c/2)+c/2)+f((x+c/2)-c/2)
=2f(x+c/2)f(c/2)=0，
所以有f(x+c)=-f(x)成立。