在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上.

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/19 15:19:39
在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

因 EF平分等腰梯形ABCD的周长,BE=x
所以 BF=12-x
而 BF=12-x<=AB=5
BE=x<=BC=10
所以12-x<=5
x<=10
即7<=x<=10

又因 等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10
从A，D分别做垂线交BC于G，H
则GH=4，BG=3，CH=3
直角三角形AGB中AB=5，BG=3
所以AG=4
所以sin角B=AG/AB=4/5

则三角形BEF中，由F做垂线交BE于I
那么sin角B=高/BF=高/(12-x)=4/5
所以高=4(12-x)/5

所以三角形BEF的面积=高*BE/2=2(12-x)x/5

三角形BEF的面积=2(12-x)x/5
范围7<=x<=10

（1）由已知条件得：梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG⊥BC于G过点A作AK⊥BC于K则可得：FG＝ ×4，所以S△BEF＝ BE•FG＝－ x2+ x（7≤x≤10）.

（2）存在.由（1）得－ x2+ x＝14，得x1＝7，x2＝5（不合舍去），所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.

（3）不存在.假设存在，显然是S△BEF∶SAFECD＝1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2 ，则有－ x2+ x＝ ，整理，得3x2－24x+70＝0，此时求根公式有被开方式为576－840＜0，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积，同时分成1∶2的两部分.