△ABC，∠C=90°，CD⊥AB于D，作∠CDE=∠CDF=α，交AC于F，BC于E

首先，由于△ABC是给定的，所以A，B，C，AB=c，BC=a，CA=b都是已知量。并且，容易知道CD=ab/c，∠DCB=∠A，∠ACD=∠B。
在△CDF中，根据正弦定理，知道DF/SinB=CD/Sin(α+B)，即DF=CD*SinB/Sin(α+B)；
同理，在△CDE中，根据正弦定理，有DE=CD*SinA/Sin(α+A)。
而我们知道，△DEF的面积为S=DE*DF*Sin2α/2，所以面积表达式为
S=CD*SinA/Sin(α+A)*CD*SinB/Sin(α+B)*Sin2α/2
=(a^2b^2/2c^2)*SinASinBSin2α/Sin(α+A)Sin(α+B)
=(a^2b^2/2c^2)*SinASinB*2SinαCosα/(SinαCosA+CosαSinA)(SinαCosB+CosαSinB)
=(a^2b^2/c^2)*1/(CotA+Cotα)(TanαCotB+1)
=(a^2b^2/c^2)*1/(CotATanαCotB+CotB+CotA+Cotα)

由于CotATanαCotB+Cotα≥2√(CotACotB)=2（因为A，B互余），所以
(a^2b^2/c^2)*1/(CotATanαCotB+CotB+CotA+Cotα)
≤(a^2b^2/c^2)*1/(CotB+CotA+2).
等号成立当且仅当Tanα=Cotα，即α=45°。
考虑到CotA=b/a，CotB=a/b，所以最大面积也可写成
a^3b^3/c^2(a+b)^2。

因此结论是，当α=45°时，三角形的最大面积为a^3b^3/c^2(a+b)^2。

∵ CD=ab/c，∠DCB=∠A，∠ACD=∠B。
∴ 在△CDF中，DF/SinB=CD/Sin(α+B)，
即 DF=CD*SinB/Sin(α+B)；
同理，在△CDE中，DE=CD*SinA/Sin(α+A)。
∵ △DEF的面积为S=DE*DF*Sin2α/2，
∴ 面积表达式为：
S△=CD*SinA/Sin(α+A)*CD