初三 数学 三角形的“心” 请详细解答,谢谢! (11 15:22:6)

外心: 三角形三边垂直平分线的交点。

      三角形外接圆圆心。 

内心：三角形三个角平分线的交点。

      三角形内切圆圆心。 

垂心：三角形三条高的交点。 

重心：三角形三边中线的交点。(重心到一边中

      点的距离等于该边中线的三分之一。)

中心：只有正三角形(等边三角形)才有中心，

    这时重心、内心、外心、垂心四心合一。 

如图：

∵ G是三角形ABC的重心，BD=CD，AE=CE，

   且AD⊥BE，BC=a，AC=b，

∴ BD=CD=a/2 ，AE=CE=b/2 ，

   DG=AG/2 ，EG=BG/2 ，

   AG²+EG²=AE²，BG²+DG²=BD² ，

∴ AG²+EG²+BG²+DG²=AE²+BD² ，

∴AG²+(BG/2)²+BG²+(AG/2)²=(b/2)²+(a/2)² 

∴ AG²+BG²=(a²+b²)/5 ，

又∵ AG²+BG²=AB²