若x,y,z都是正实数,且x+y+z=xyz,求证:(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z≥2(1/x+1/y+1/z)

左-右，以xyz为分母进行通分，化简合并后，得

分子：z(x-y)^2 + x(y-z)^2 + y(z-x)^2
分母：xyz

除成3个式子: (x-y)^2/xy + (y-z)^2/yz + (z-x)^2/xz

利用 x^2 + y^2 >= 2xy 及初始条件即可证明上式每个式子都 >=0 。

即原式 左>= 右。

把条件带入不等式左边，可以化为yz-1+xz-1+xy-1>=2(1/x+1/y+1/z)
继续对左边变形，有yz-1=y/x+z/x
xz-1=x/y+z/y
xy-1=x/z+y/z
待证等式化为y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>=2(1/x+1/y+1/z)
只须分别证明y/x+z/x>=2/x……同理即可
用均值不等式y/x+z/x>=(根号下yz)/x
利用条件知yz=1+y/x+z/x>1
所以y/x+z/x>=2/x
同理可证其他两个不等式
加起来，命题得证

左式=（y/x+x/y）+（x/z+z/x）+（y/z+z/y）
≥2+2+2
=6（均值不等式）
=6（x+y+z）/xyz
=2xyz/xyz+2xyz/xyz+2xyz/xyz
≥2xy/xyz+2xz/xyz+2yz/xyz
=2(1/x+1/y+1/z)
(当且仅当x=y时取“=”号)