己知f(x)满足f(1)=1,对于任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,若x属于N,则f(x)的解析式为

f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1
令y=1
f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1=f(x)+2x+3
即
f(x+1)=f(x)+2x+3
同理有
f(x)=f(x-1)+2(x-1)+3
f(x-1)=f(x-2)+2(x-2)+3
......
f(2)=f(1)+2*1+3
f(1)=1
将上面x个式子相加得
f(x)
=1+2*(1+2+...+(x-1))+3*(x-1)
=x^2+2x-2

解：当n∈N且n≥2时，由已知条件可得：
f(n)= f((n-1)+1)=f(n-1)+f(1)+2n+1
又f(1)=1
∴f(n)=f(n-1)+1+2n+1
∴ f(n)=f(n-1)+2n+2 （n∈N且n≥2)
将n=2，3，4，……，分别代入上式，得：
f(2)=f(1)+2×2+2
f(3)=f(2)+2×3+2
f(4)=f(3)+2×4+2
……
f(n-1)=f(n-2)+2（n-1）+2
f(n)=f(n-1)+2n+2
将上面这（n-1）个等式相加，得
f(n)=f(1)+2×2+2×3+2×4+……+2n+2（n-1）
=f(1)+2（2+3+4++……+n）+2（n-1）
=f(1)+2（1+2+3+4++……+n）-2+2（n-1）
=1+2×[（1+n）n/2]+2n-4
=（1+n）n+2n-3
=n^2+3n-3
经检验，n=1时f(n)=n^2+3n-3也成立
∴ f(n)=n^2+3n-3 （n∈N）
∴所求 f(x)=x^2+3x-3 （x∈N）

一楼解错。
2楼为正解