若m,n为正整数，使8m+9n=mn+19成立的最大值m是多少？

mn-8m=9n-19
m=(9n-19)/(n-8)
=[9(n-8)+53]/(n-8)
=9 + 53/(n-8)
所以我们可以看出
随着n的变大 m是变小的
所以要取m的最大 一定要取n的最小
而且n一定是要大于0的

而且我们知道8m是偶数 那么19+mn-9n也一定是偶数
那么n一定是奇数

我们知道m=9 + 53/(n-8)是正整数
那么就是说n-8一定是53的约数
所以n最小为7
但是n=7时m是负的
所以要取n=9
这时m最大是9+53=62

8m+9n=mn+19
8m-mn=19-9n
m=(19-9n)/(8-n)
m=(19-9n)/(8-n)=[9(8-n)-53]/(8-n)
=9-53/(8-n)
=9+53/(n-8)
m的最大值即求9+53/(n-8)的最大值即53/(n-8)的最大值
即n-8的最小值且53/(n-8)是正整数
53=1x53
即n-8 =1,n=9
所以当n=9时，53/(n-8)最大是53
所以m的最大值是53+9=62

m=62 n=9