an=√( 1*2) +√(2*3) +√(3*4)……√ n*(n+1) 求证n（n+1）/2<an<(n+1)^2/2

n<√n*(n+1)<(n+(n+1))/2

其中√n*(n+1)<(n+(n+1))/2
是因为不等式2ab<=a^2+b^2 这其实是(a-b)^2>=0的变形 等号成立仅当a=b

故1+2+3+...+n<an<(3+5+...+(2n+1))/2<(n+1)^2/2

即n（n+1）/2<an<(n+1)^2/2

放缩法
√n(n+1<(2n+1)/2
√n(n+1)>√n*n=n
所以 an>1+2+…………+n=n(n+1)/2
an<3/2+……2n+1/2=（n+1)^2/2