高二 数学 函数 请详细解答,谢谢! (8 22:13:29)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 23:47:27
 
已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，
m＜0
1）求m与n 的关系式
2）求f（x）的单调区间
3）当x∈【-1，1】是，函数y=f（x）的函数图像上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m 的取值范围

分析:(1)先求导数，令f′(1)=0,求出m、n的关系式；
（2）由导数求单调区间；
（3）由函数性质求m的取值范围.
解析:(1)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n.
因为x=1是f (x)的一个极值点，
所以f′(1)=0,
即3m-6(m+1)+n=0,
所以f′(1)=0.
即3m-6(m+1)+n=0,
所以n=3m+6.

(2)由（1）知，
f′(x)=3mx^2-6(m+1)x+3m+6
=3m(x-1)〔x-(1- 2/m)〕.

(ⅰ)当m<0时，有1>1+2/m ,当x变化时，f(x)与f′(x)的变化如下表：

x (负无穷大，1+2/m) 1+2/m (1+2/m,1) 1 (1,正无穷大）

f′(x) <0 0 >0 0 <0

f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减

由上表知，
当m<0时，f(x)在（-∞,1+2/m ）单调递减，
在(1+ ,1)单调递增，在（1，＋∞）单调递减.

(3)解法一：由已知，得f′(x)>3m,即mx^2-2(m+1)x+2>0.
∵m<0,
∴x2- 2/m(m+1)x+2/m <0.

即x^2-2(1+1/m )x+2/m <0,x∈〔－1，1〕.(*)
设g(x)=x^2-2(1+1/m )x+ 2/m,其函数图象的开口向上.
由题意（*）式恒成立.
g(-1)<0 1+2+2/m+2/m<0 4/m<-3
∴ ==> ==> ==> -4/3<m
g