高中数学 不等式 急求答案

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 00:28:09
(1) 已知a b c是互不相等的正数
求证：2/（a+b）+2/（b+c）+2/（c+a）＞9/(a+b+c)
(2) 设X_1 X_2 .....X_n属于R+ 且X_1+X_2+...+X_n=1
求证：X_1^2/(1+X_1)+X_2^2/(1+X_2)+....+X_n^2/(1+X_n）≥1/(n+1)

(1)由柯西不等式：
(a+b+b+c+c+a)[2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)]>=(√2+√2+√2)^2=18
上式即2(a+b+c)[2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)]>=18
也即2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>=9/(a+b+c)
由于a,b,c互补相等，故取不到等号，于是2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
证毕。。

(2)由柯西不等式：(1+x1+1+x2+...+1+xn)[x1^2/(1+x1)+x2^2/(1+x2)+...+xn^2/(1+xn)]>=(x1+x2+...+xn)^2=1
而1+x1+1+x2+...+1+xn=n+(x1+x2+...+xn)=n+1
于是上式即x1^2/(1+x1)+x2^2/(1+x2)+...+xn^2/(1+xn)>=1/(n+1)

证毕。。

1、 把a+b+c 移到左边 把2乘进a+b+c 柯西直接 大于3^2=9
2 还是柯西 等式左边乘以(1+x1+1+x2+...1+xn)=(1+n) 右边就大于等于了 (x1+....xn)^2=1 移过来N+1就是了