在△ABC中,求证: sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/20 02:31:56
在△ABC中,求证: sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8
题目应该是sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)<=1/8
三角形的内切圆半径为r,外接圆半径为R,半周长为p(=(a+b+c)/2),面积为S:
r=4R*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)
∴sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=r/(4R)
r=S/p, R=abc/(4S),S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)
带入这些公式,
sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=r/(4R)=S^2/pabc=(p-a)(p-b)(p-c)/(abc)=1/8*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)/abc
(b+c-a)+(a+c-b)+(a+b-c)=a+b+c
如果分母abc为定值,a+b+c有最小值,当a+b+c确定以后,(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)有最大值。
∴sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)<=1/8 ,当且仅当a=b=c时,取等号。
A、B、C是三角形的三个内角,0<sinA<=1,sinA/2<=1/2,同理0<sinB<=1,sinB/2<=1/2,sinC<=1,sinC/2<=1/2,以上三不等式左边均大于0。三式相乘不等号方向不变,
故(sinA/2)*(sinB/2)*(sin(C/2)<=1/8,证毕。
在锐角三角形ABC中,求证:sinA+sinB>cosB+cosC.
在锐角三角形ABC中,求证sinA>cosB
在△ABC中,求证:
在△ABC中,sinA,sinB,sinC成等差数列,求证:5cosA-4cosAcosC+5cosC=4
在三角形ABC中,sinA(cosB+cosC)=sinB+sinC,求证这个是直角三角形
锐角三角形ABC中,求证sinA+sinB+sinC>2
在△ABC中,求证:sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
帮我做几道证明题:1,在三角形ABC中,已知sinA=2cosB*sinC,求证b=c
在△ABC中, sina+cosa=sqr2/2 ,求tana ,sina 的值
在三角形ABC中,已知sinA的平方+sinB的平方+sinc的平方=2求证三角形ABC是直角三角形