高二 数学 导数 请详细解答,谢谢! (14 14:20:15)

已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)求证：若函数y=f(x)图像上任意不同两点连线的斜率都小于1，则-√3≤a≤√3;

求导,f(x)的导数为-3X^2+2aX
任意不同的两点间连线斜率都小于1即导数恒小于1
即为3X^2-2aX+1>0恒成立
则只需判别式=4a^2-12<0即可
即a^2<3,则-根号3<=a<=+根号3

(2)若x∈[0,1],函数y=f(x)图像上任一点切线的斜率为k,求∣k∣≤1时a的取值范围
由上得k=f'(x)=-3x^2+2ax
即-1<=-3x^2+2ax<=1,在[0,1]上恒成立.
(1)-1<=-3x^2+2ax
设g(x)=3x^2-2ax-1<=0
对称轴x=-(-2a)/6=a/3.
i)a/3<0时,[0,1]上递增,即有g(1)=3-2a-1<=0,得a>=1,又a<0,则无解
ii)0<=a/3<=1,即0<=a<=3,
g(0)=-1<0,g(1)=3-2a-1<=0,即a>=1
则有:1<=a<=3
iii)a/3>1,a>3时,有g(0)=-1<0,故有a>3
综上:a>=1

(2)-3x^2+2ax<=1,在[0,1]恒成立.
设h(x)=3x^2-2ax+1>=0,恒成立.
对称轴x=a/3.
i)a/3<0,h(0)=1>0,则有a<0
ii)0<=a/3<=1,0<=a<=3,h(a/3)=3*a^2/9-2a^2/3+1>=0,得a是实数
即有0<=a<=3
iii)a/3>1,a>3,h(1)=3-2a+1>=0,a<=2, 无解.
综上有:a<=3

综上所述,a的范围是:{a>=1}∩{a&