定义在R上的函数f(x)对一切实数x,y满足:f(x)不等于0,

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 01:27:31
定义在R上的函数f(x)对一切实数x,y满足:f(x)不等于0,且f(x+y)=f(x)f(y),已知f(x)在(-无穷,0)上的值域是(1,正无穷),则f(x)在R上的值域是

考察函数模型化

在基本初等函数里满足f(x)在(-无穷,0)上的值域是(1,正无穷)就是指数函数
y=a∧x,此时a大于0小于1.且指数运算性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,符合题目f(x+y)=f(x)f(y),所以f(x)在R上的值域是(0,正无穷)

f(x+y)=f(x)f(y)
f(0)=f(0)f(0),
因为f(x)不等于0
故f(0)=1
在f(x+y)=f(x)f(y)中，另y=-x
则f(x+y)=f(0)=f(x)f(-x)=1
f(-x)=1/f(x)
故f(x)在（0，正无穷）上的值域是（0，1）
故f(x)在R上的值域是（0，正无穷）