已知f(x)是定义在实数集R上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且f(x)=2x-x2,

令t=x+2→x=t-2
在实数集R上的函数,满足f(x+2)=-f(x),
则有f(t)=-f(t-2)
当t属于区间[0，2],则函数满足关系式f(t)=2t-t2,
t-2属于区间[-2,0],且满足f（t-2）=-f（t）=-2t+t2
再将x=t-2代回，则有f（x）=-2（x+2）+(x+2)^2 x属于区间【-2，0】

2、由于f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
则f（x）是以4为周期的函数
则当x属于区间【-2，2】，x+4属于区间【2，6】
则有f（x+4）=f（x）
令t=x+4，x=t-4，且t属于区间【2，6】，t-4属于区间【-2，2】
则f（t）=f（t-4）
当t属于【2，4】，t-4属于【-2，0】，f（t）=-2（t-2）+(t+2)^2
当t属于【4，6】，t-4属于【0，2】，f（t）=-2（t-4）+(t-4)^2

1.f(x+2)=-f(x)①

x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^2②

以下求解
当x∈[-2,0]时,x+2∈[0,2],代入②得
f(x+2)=2(x+2)-(x+2)^2=-x^2-2x=-x^2-6x-8
结合①可得f(x)=x^2+6x+8,x∈[-2,0]③

f(x+2)=-f(x),令x=x+2
得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
所以该函数是周期为4的周期函数
那么f(x)=f(x-4)④

2.虽然[2,6]区间长度为4
但不是在同一个周期上
所以只能先求[2,4]的表达式
再求(4,6]的表达式

x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0]
代入③得f(x-4)=x^2-2x
由④得f(x)=f(x-4)=x^2-2x(x∈[2,4])

x∈(4,6]时,x-4∈(0,2]
代入②得f(x-4)=-x^2+10x-24=f(x) (x∈(4,6])