高二 数学 函数 请详细解答,谢谢! (22 13:28:31)

（1）(x)=ax^2+bX+c,且f(1)=-a/2
3a + 2(b + c) = 0 , a = -2(b + c)/3 ,
证函数有两个零点 , 等价于证明b^2 - 4ac > 0 ,
等价于证明:b^2 > -8c(b + c)/3 ,
等价于证明:b^2 + 2(b + 2c)^2 > 0 ,
如果b 、c同时为0 ，则a也为0 ， 则f(x)成为y轴 ，此时1不在定义域内 ， 与
“f(1)=-a/2”不符 ，故b、c不同时为0 ， 因此 b^2 + 2(b + 2c)^2 > 0 ，
所以 ，函数有两个零点
（2）|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=......(b/a+2)^2+2,
因为-3<b/a<-3/4，且a>0，所以f(-2)=<|x1-x2|^2<f(-3/4),
所以根号2≤|X1-X2|<根号57/4.
（3）当c>0时，f(0)*f(1)=-ac/2<0,说明当c>0时在（0，1）上至少有一根；
当c=0时，f(x)=ax^2-3ax/2,与x轴有一交点为（3/2，0），
说明当c=0时在（0，2）上有一根x=3/2；
当c<0时，因为f(3/2)=9a/4+3b/2+c
=1/4(9a+6b+4c)=1/4(9a+6b-6a-4b)=a/4(3+b/a),
由（1）可知-3<b/a<-3/4，且a>0,
所以f(-3)<f(3/2)<f(-3/4),即0<f(3/2)<9a/16,有f(0)*f(3/2)<0,
说明当c<0时在（0，3/2）上至少有一根.
综上函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点 .