利用等比数列的前n项和的公式证明

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/04/30 19:33:25

a^n+a^(n-1)*b+a^(n-2)*b^2+…+b^n=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)
其中n为正整数,a,b是不为0的常数,a不等于b

由题可看出上式是一个首相为a^n 公比为b/a 的等比数列的前n+1项之和
所以上式={a^n[1-(b/a)^n+1]}/1-b/a =[a^n-(b^n+1)/a]/ (a-b)/a=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)

证明：
因为a^(m-1)b^(n-m+1)/a^(m)b^(n-m)=b/a;
即上述数列是等比数列
因而a^n+a^(n-1)*b+a^(n-2)*b^2+…+b^n＝a^n(1-(b/a)^(n+1))/(1-b/a)
=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)