数学问题：圆和直线

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 06:33:14
已知道与曲线C：（x-2)^2+(y-2)^2=4 相切的直线l交x.y正半轴于A.B两点，即A（a,0) B(0,b).且a>4,b>4
求证：（a-4)(b-4)=8

解：设直线l为：y=-bx/a+b，直线过A、B两点。

l与⊙C相切，如图：需要证明S□GIHF=0.5S□DOEF。

而(a-4)(b-4)=ab-4a-4b+16，ab=OA·OB=S□AOBI，4a=OD·OA=S□AODH，4b=OE·OB=S□BOEG，16=4×4=OD·OE=S□DOEF，S所以，原式=S□AOBI-S□AODH-S□BOEG+S□DOEF=S□GIHF=0.5S□DOEF=0.5×16=8。