UC知道求助，与拉格朗日中值定理有关的一道证明题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 17:44:27
设f（x）在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使
(bf(b)-af(a))/(b-a)=f(ξ)+ ξf’(ξ)
分析，本题关键是构造辅助函数，对于关系式中显含a，b及f(a),f(b)的情形更多地直接采用拉格朗日中值定理，即含介值的项全部右移，左端的分子、分母把a，b分离，然后直接观察即可得到所需辅助函数。本题即为F（x）=xf（x）。
F（x）=xf（x）是怎么看出来的！我看了半天也没看出什么规律来，原式到底是怎么化简的？
要步骤！！！！
(bf(b)-af(a))/(b-a)=f(ξ)+ ξf’(ξ)
分析，本题关键是构造辅助函数，对于关系式中显含a，b及f(a),f(b)的情形更多地直接采用拉格朗日中值定理，即含介值的项全部右移，左端的分子、分母把a，b分离，然后直接观察即可得到所需辅助函数。本题即为F（x）=xf（x）。
F（x）=xf（x）是怎么看出来的！我看了半天也没看出什么规律来，原式到底是怎么化简的？
要步骤！！！！
看到f(ξ)+ ξf’(ξ)
就应该想到这是xf(x)的导数形式啊
[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)
所以，构造F（x）=xf（x）
F(b)-F(a)=bf(b)-af(a)
验证左式，符合拉格朗日中值定理：[F(b)-F(a)]/(b-a)=F'(ξ)
这种题有2个方法,一 考研数学书上,这类题有归纳,你可以去看下
二.你多做,自己就会发现了 .
第一条其实很好，他归纳很全,你看了多做,保证你会.只要不是太难,不过这类题,每年都是考研最难题,不会很正常.
在拉格朗日中值定理中含ξ的项都是在构造辅助函数的导数项中，因此只要考虑含ξ的项的原函数（把ξ看做变量）是什么就行了
左边不就是标准的拉格朗日定理的格式吗？这个题目不用变形，直接设就行