求证:对任何自然数n,1*2*3...*k+2*3*4...(k+1)+...n(n+1)...(n+k-1)=[n(n+1)...(n+k)]/(k+1)

1×2×3。。。×k=k！/（0）！
2×3×4。。。×（k+1）=（k+1）！/（1）！
n（n+1）。。。（n+k-1）=（n+k-1）！/（n-1）！
等号左边除k！（显然k！不等于0）
得k!/[(0)!k!)]=C(k,0)
(k+1)!/[(1)!k!]=C(k+1,1)
(n+k-1)!/[(n-1)!k!]=C(n+k-1,n-1)
即C（k，0）+C（k+1，1）+C（k+2，2）。。。+C（n+k-1，n-1）
【因为C（x，0）=C（y，0）=1，x，y为任意正整数】
=C（k+1，0）+C（k+1，1）+C（k+2，2）。。。+C（n+k-1，n-1）
【因为C（n，x）+C（n，x-1）=C（n+1，x） n，x为任意正整数】
=C（k+2，1）+C（k+2，2）。。。+C（n+k-1，n-1）
=C(k+3,2)+....+C（n+k-1，n-1）
=C(n+k,n-1)=(n+k)!/[（n-1）！（k+1）！]
等号右边除k！
n（n+1）。。。（n+k）/[（k+1）k!]
=[(n+k)!/(n-1)!]/[(k+1)!]
=(n+k)!/[（n-1）！（k+1）！]
所以两边相等。

注C（x，y）表示组合数，x为下标，y为上标。