数学竞赛代数问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 21:18:05
已知X、Y都在区间（-2，2）内，且XY=1，则U=4/（4-X^2）+9/(9-Y^2)的最小值是多少？
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过程越详细越好。
X^2和Y^2就是x的平方和y的平方。
不好意思打错了，XY=-1。mystyl重新回答一下好吧？不好意思。

解:
由于:X,Y属于(-2,2)
则有：
4-x^2>0,9-y^2>0
又：XY=-1
由均值不等式，得：
u=4/（4-X^2）+9/(9-Y^2)
≥2√[4/(4-x^2)*9/(9-y^2)]
=12/√[(36-9x^2-4y^2+(xy)^2]
=12/√[37-(9x^2+4y^2)]
≥12/√[37-2√(36x^2y^2)]
=12/√[37-2*6*1]
=12/5

当且仅当4/(4-X^2)=9/(9-Y^2),
即：x=√(2/3),y=-√(3/2)时,
u取最小值=12/5

由均值不等式的2/(1/a+1/b)<=(a+b)/2 a=1-x^2/4 b=1-y^2/9
得原式>=4/(a+b) =4/(2-x^2/4 -y^2/9)>=4/(2-2根号xy/6)=12/5
两次等号成立时，均要求y=1.5x
xy=1和xy=-1运算是一样的，考虑函数
U=4/（4-（-X）^2）+9/(9-Y^2) 则利用（-x）y=1求解。