三角形ABC中，D为BC的中点，DE垂直于BC交角BAC的平分线AE于E，EF垂直于AB于F，EG垂直于AC交AC的延长线于G

解：在Rt△AFE与△AGE中，
角FAE＝角EAG (题设）
AE=AE (公用）
△AFE全等于△AGE (ASA)(因在Rt△中，一斜边和一锐角对应相等，另一锐角必相等）
故，EF=EG (全等三角形对应边相等）
因DE垂直BC于D点，且D为BC的中点，故△BEC为等腰三角形，BE=CE
在Rt△BFE与△CGE中，EF=EG,BE=CE
则，Rt△BFE全等于Rt△CGE (ASA,或SAS）（在Rt△中，有两条边对应相等，其对应锐角必相等)
故，BF=CG (全等三角形对应边相等）

证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中 BE=CEEF=EG​，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF=CG