如图所示，圆O是△ABC的外接圆。角ABC与角BAC的平分线相交于点I。延长AI交圆O于点D，连结BD、DC.

1
∵∠ABC与∠BAC的平分线相交于点I,
∴∠BAD=∠CAD,
而C⌒D所对圆周角是∠CAD,∠CBD,
∴∠CAD=∠CBD,
同理，∠BAD=∠BCD,
∴∠CBD=∠BCD,
∴BD=CD,

又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠CAD+∠ABC/2,
∠BID=∠BAI+∠ABI=∠CAD+∠ABC/2,
∴∠DBI=∠BID,
∴BD=DC=DI

2
∠BAC=120°，
∴∠BDC=180°-120°= 60°,
而△BDC是圆内接等边三角形，
∴△BDC的面积=(√3/4)*(10√3)^2
=75√3 (cm^2)

1)因为角ABC与角BAC的平分线相交于点I,
所以∠BAD=∠CAD,
CD弧所对圆周角是∠CAD,∠CBD,
所以∠CAD=∠CBD,
同理，∠BAD=∠BCD,
所以∠CBD=∠BCD,
所以BD=CD,

又∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠CAD+∠ABC/2,
∠BID=∠BAI+∠ABI=∠CAD+∠ABC/2,
所以∠DBI=∠BID,
所以BD=DC=DI

2)角BAC=120°，
∠BDC=60,
△BDC是圆内接等边三角形，
△BDC的面积=15/2

）∵AI平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC，
∴BD=DC∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI∵∠BAD=∠DAC，∠DBC=∠DAC
∴∠BAD=∠DBC，
又∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD
∴∠DBI=∠DIB，
∴△BDI为等腰三角形
∴BD=ID，
∴BD=DC=DI
2）作DE垂直BC
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴△BDC为正三角形又OB=10cm，
∴BC