设f(x)定义在R上,有f(ab)=f(a)+f(b),f(1)=0,f(1/x)=-f(x)

令b=1/m，ab=a/m
f(a/m)=f(a)+f(1/m)
因为f(1/x)=-f(x)
所以
f(a/m)=f(a)-f(m)
令x1>x2>1
则x1/x2>1
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)
因为x>1时,f(x)<0
而x1/x2>1
所以f(x1/x2)<0
即x1>x2>1时f(x1)<f(x2)
所以是减函数

证明：设x1，x2在x∈(1,+∞)范围内，且x1<x2
f(1/x)=-f(x),则f(1/x1)=-f(x1)
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2/x1)
x2/x1>1,当x∈(1,+∞)时,f(x)＜0，所以f(x2/x1)<0
所以f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)<0
f(x2)<f(x1)
x1<x2
所以f(x)在∈(1,+∞)上是减函数
证毕；

证明：任取 1<x1<x2
则f(x2)-f(x1)
=f(x2)+f(1／x1)【注：按 f(1/x)=-f(x)逆用】
=f(x2／x1) 【注：按f(ab)=f(a)+f(b)逆用】
∵ 1<x1<x2 ∴ x1／x2>1
∴ f(x2／x1)<0【注：x∈(1,+∞)时,f(x)＜0】
所以:f（x2）<f（x1）
即f（x1）> f（x2）
所以，根据单调性的定义，f(x)在∈(1,+∞)上是减函数。