求证在f(x)=1/x 上，x=a>0时，于f(x)上任一点做正切线，交与x.y轴，该点平分该正切线。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/04/30 00:30:17
求证在f(x)=1/x 上，x=a>0时，于f(x)上任一点做正切线，交与x.y轴，该点平分该正切线。
如果f(x)变成f(x)=1/x^n (n>0)，其他条件不变的话，正切与x,y轴形成的三角形大小有何变化，正切有何变化？

f'(x)=-1/x^2
该点为A(a,1/a)
所以切线为：y=-x/a^2+2/a
与x轴交于B(2a,0)
与y轴交于C(0,2/a)
根据距离公式
得到该|AB|^2=a^2+1/a^2, |AC|^2=a^2+1/a^2
所以|AB|=|AC|
即平分该切线

证明：在f(x)上任一点(a,c) c=1/a
k=y'=-1/x^2 =-1/a^2
切线y=kx+b
y=-x/a^2+b 将(a,1/a)代入b=2/a
即切线为y=-x/a^2+2/a
交与x轴 y=0 x=2a (2a,0)
交与y轴x=0,y=1/a (0,2/a)
可知(a,1/a)正好是(2a,0)和(0,2/a)的中点。
故证。