如图,三角形ABC中,角C=90度,CA=CB,D是AB的中点,AE=CF

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/04 06:27:38
如图,三角形ABC中,角C=90度,CA=CB,D是AB的中点,AE=CF。
（1）猜想DE于DF的数量关系和位置关系
（2）证明你的猜想

（1）应该是相等、垂直

(1)垂直且相等
(2)证明:连接CD
∵CA=CB,AE=CF
∴EC=FB
又∵D是AB的中点,∠C=90°
∴AD=DB,∠ACD=∠DCB=45°,∠CAB=∠CBA=45°
∴∠ACD=∠CBA=45°,CD=AD=DB
即∠ECD=∠FBD=45°
∴△ECD≌△FBD
∴DE=DF,∠EDC=∠FDB
又∵D是AB的中点,∠C=90°
∴CD⊥AB
即∠CDA=∠CDB=90°
∵∠CDB=∠CDF+∠FDB
∴∠CDB=∠CDF+∠EDC=90°
又∵∠EDF=∠EDC+∠CDF
∴∠EDF=∠CDB=∠CDF+∠EDC=90°
∴DE⊥DF
即DE垂直于DF

DE=DF
证：
连接CD,在三角形AED与三角形CFD中
1、AE=CF(已知条件）
2、AD=CD(等腰直角三角形ABC的斜边中线是斜边AB的一半)
3、<DCF = <EAD =45 度 (因为三角形ACD与三角形CDB也是等腰直角三角形）

所以三角形AED与三角形CFD全等