如图,已知一个三角形纸片ABC,BC边的长为8,BC边上的高为6

设AD为BC上的高，D为垂足，于是有AD=6，且AD⊥BC成立
设AD与MN交于点E
由MN‖BC，在△ABC中，可得比例：MN/BC=AM/AB
而在△ABD中，由MN‖BC，可得另一比例：AM/AB=AE/AD ①
且∠AEM=∠ADB=90°
于是，有AE/MN=AD/BC，且AE为△AMN中，MN上的高，有AE=h
代入AD=6,MN=8,AE=h,MN=x,可得到：
h=3x/4

而由于△A1MN是由△AMN沿MN翻折而来，两者处于同一平面，故，△A1MN≌△AMN
可得出：∠AMN=∠A1MN，AM=MD
连接AA1，设它与MN交于点E1，显然在△AME1和△A1ME1中，AM=A1M，∠AMN=∠A1MN，且ME1为公共边，于是△AME1≌△A1ME1，可得出：AE1=A1E1,∠AE1M=∠ME1D，显然，由于∠AE1M+∠ME1D=180°，可得出∠AE1M=∠ME1D=90°
也就是说，AE1⊥MN于E1,而之前已知AE⊥MN于E，根据“过直线外一点只能引出唯一一条垂直于该直线的垂线”这条定理，可得到E与E1是重合的，也就是说，A，E，A1，D点三点共线！且有AE=A1E=h=3x/4，AA1=AE+A1E=2h=3x/2 ②

显然，A1点必然落在AD所在直线上，而它是在线段AD上，还是在其延长线，抑或是干脆与D点重合，则决定了△A1MN与四边形MNCB重合的面积y的值，因此，对y与x的函数解析式展开分类讨论的标准就是A1点是否落在AD上（或是落在其延长线上）！

1°显然，当A1落在AD线段上的时候(包括与D点重合的情况)，△A1MN与四边形MNCB重合的面积就是△A1MN！（因为△A1MN完全包含于MNCB内）
由于△A1MN≌△A1MN，故：
y=S△A1MN=S△AMN=AE*MN/2=x*h/2=x*(3x/4)/2=3x^/8
显然，此种情况下，当A1恰好与D点重合时，此时的E点恰为线段AA1也就是AD的中点，而AD=6，故h=AE=3，x=4h/3=4，此时的MN也就是x恰为△ABC的中位线，M点正好位于线段AB的中点，它是