询问两个函数的单调性、最值及其证明

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/16 08:17:48
第一个 y=x^x（即x乘x次方）
第二个 y=x√x（即x开x次方）
第一个最小值在0.382处，是否跟黄金分割有什么联系？

根据作图软件，这两者都不是单增或单减的

1) y=x^x
lny=x*lnx
y'/y=x/x+lnx=1+lnx=0
lnx=-1
x=1/e=0.368

0<x<1/e, y'<0, 单调下降
1/e<x, y'>0, 单调上升
x=1/e, 最小值y=(1/e)^(1/e)

2) y=x^(1/x)
lny=(lnx)/x
y'/y=(1/x^2)-(lnx)/x^2=0
lnx=1
x=e=2.718

0<x<e, y'>0, 上升
e<x, y'<0, 下降
x=e, 最大值，y=e^(1/e)

第一个只能在X>0时讨论,是增的.X=0或X<0没有意义
第二个在定义域内是增的