点F是∠ABD,∠ADG的角平分线的交点,过点D做DE⊥AF,求证AE=AD.

记AF、DE交点为H
过点F作FP⊥EB，FQ⊥BG，FO⊥AD
∵FP⊥EB，FQ⊥BG，FO⊥AD
∴∠FPB（即∠FPA）=90°，∠FQB（即∠FQD）=90°，∠FOD=∠FOA=90°
∴∠BPF=∠BQF，∠FOD=∠FQD，∠APF=∠AOF=90°
∵BF平分∠ABD，DF平分∠ADG
∴∠PBF（即∠ABF）=∠PBF（即∠DBF），∠ODF（即∠ADF）=∠QDF（即∠GDF）
在△BFP与△BFQ中
∠BPF=∠BQF
∠PBF=∠QBF
BF=BF
∴△BFP≌△BFQ（AAS）
∴FP=FQ
在△FDO与△FDQ中
∠DOF=∠DQF
∠FDO=∠FDQ
FD=FD
∴△FDO≌△FDQ（AAS）
∴FO=FQ
∴FP=FO
在Rt△FAP与Rt△FAO中
FP=FO
FA=FA
∴Rt△FAP≌Rt△FAO（HL）
∴∠PAF（即∠EAF）=∠OAF（即∠DAF）
∵DE⊥AF
∴∠AHE=∠AHD=90°
∵∠AHE+∠EAH+∠E=180°，∠AHD+∠DAH+∠ADH=180°
∴∠E=∠ADH(即∠ADE)
∴AE=AD

记AF、DE交点为H
过点F作FP⊥EB，FQ⊥BG，FO⊥AD
∵FP⊥EB，FQ⊥BG，FO⊥AD
∴∠FPB（即∠FPA）=90°，∠FQB（即∠FQD）=90°，∠FOD=∠FOA=90°
∴∠BPF=∠BQF，∠FOD=∠FQD，∠APF=∠AOF=90°
∵BF平分∠ABD，DF平分∠ADG
∴∠PBF（即∠ABF）=∠PBF（即∠DBF），∠ODF（即∠ADF）=∠QDF（即∠GDF）
在△BFP与△BFQ中
∠BPF=∠BQF
∠PBF=∠QBF
BF=BF
∴△BFP≌△BFQ（AAS）
∴FP=FQ
在△FDO与△FDQ中
∠DOF=∠DQF