UC知道关于数列的求和推导与证明
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 07:32:51
我有二个公式不会证明，有一个公式不知道推导结果是什么，是否可以帮忙解决：
1^2+2^2+3^2+…+n^2=n/6(n+1)(2n+1)
1^3+2^3+3^3+…+n^3=[n^2/4](n+1)^2
1^(-1)+2^(-1)+3^(-1)+…+n^(-1)=
谢谢大家了
与这类似的方法有"无穷递缩等比求和公式"
1^2+2^2+3^2+…+n^2=n/6(n+1)(2n+1)
1^3+2^3+3^3+…+n^3=[n^2/4](n+1)^2
1^(-1)+2^(-1)+3^(-1)+…+n^(-1)=
谢谢大家了
与这类似的方法有"无穷递缩等比求和公式"
求^2就从^3入手,求^3就从^4入手,求^t就从^(t+1)入手
因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
……
(n+1)^3=n^3+3n^2+2n+1
<一共有n个等式>
所以2^3+3^3+……+(n+1)^3=1^3+2^3+……+3*(1^2+2^2+……+^2)+3(1+2+……+n)+(1+1+……+1)
所以3(1^2+2^2+……+n^2)=n^3+3n^2+2n+1-a-3-[n(n+1)]/2-n
所以S(An)=1^2+2^2+……+n^2=(n^3+3n^2+3n)/3-n(n+1)/2-n/3=n(n+1)(2n+1)/6
同理得
1^3+2^3+3^3+…+n^3=[n^2/4](n+1)^2
1^(-1)+2^(-1)+3^(-1)+…+n^(-1)=
这个是发散级数，当n很大时有近似式：
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n
= ln(n) + C
其中C是欧拉常数