求证题 (n的3次方+11n)能被6整除

先证能被2整除，
当N为偶数时，偶数+偶数=偶数
当N为奇数时，奇数+奇数=偶数
所以能被二整除

再证能被3整除
n^3+11n=n(n^2+11)
所以当N为3倍数时可以被3整除
当N为3K+1型数时
n^2+11=9k^2+6k+12=3*(3k^2+2k+4)
当N为3K+2型数时
n^2+11=9k^2+12k+15=3*(3k^2+4k+5)
均能被3整除，所以这个数能被3整除

综上所述，能被6整除

用数学归纳法。
n=1时，原式=12，可被6整除。
设n=k时可被6整除，n=k+1时，
(k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+1=(k^3+11k)+12+3k(k+1)。
(k^3+11k)+12可被6整除。k(k+1)显然可以被2整除，因为k和k+1中肯定有一个是偶数；即3k(k+1)可以被6整除。
即n=k+1时，式子可被6整除。得证

证：记f（n）=(n的3次方+11n)
则f(-2)=-30
f(-1)=-12
f(0)=0
f(1)=12
f(2)=30
f(3)=60
都能被6整除。
而由f（n）能被6整除，
又f（n+6）=n的3次方+54n的平方+108n+216+11n+66
=f（n）+6（9n的平方+18n+36+11）故f（n+6）能被6整除
所以成立