RT三角形abc,a+b+c=2,求S最大值

RT三角形abc,设斜边是c(如果a或者b是斜边也同理)
a^2+b^2=c^2=[2-(a+b)]^2=4-4(a+b)+(a+b)^2=4-4(a+b)+a^2+b^2+2ab
就是ab-2(a+b)+2=0,ab=2(a+b)-2
所以三角形面积为S=1/2ab=1/2*(2a+2b-2)=a+b-1=2-c-1=1-c
又有
c^2=a^2+b^2>=2ab=4(a+b)-4=4(2-c)-4=4-4c
就是有不等式方程:
c^2+4c-4>=0
解出来就是
c>=2根号2-2或者c<=-2根号2-2(负值舍去)
所以S=1-c<=1-(2根号2-2)=3-2根号2
所以此时面积最大是3-2根号2,
而且取等号时,a=b=2-根号2,也就是该直角三角形是等腰直角三角形.
(楼主,思路大概就是这样吧,不过我算出来结果比你的最大值小根号2...)

RT三角形abc,不妨设斜边是c
a^2+b^2=c^2=[2-(a+b)]^2=4-4(a+b)+(a+b)^2=4-4(a+b)+a^2+b^2+2ab
就是ab-2(a+b)+2=0,ab=2(a+b)-2
所以三角形面积为S=1/2ab=1/2*(2a+2b-2)=a+b-1=2-c-1=1-c
又有
c^2=a^2+b^2>=2ab=4(a+b)-4=4(2-c)-4=4-4c
就是有不等式方程:
c^2+4c-4>=0
解出来就是
c>=2根号2-2或者c<=-2根号2-2(负值舍去)
所以S=1-c<=1-(2根号2-2)=3-2根号2
所以此时面积最大是3-2根号2,
而且取等号时,a=b=2-根号2,也就是该直角三角形是等腰直角三角形.

a^2+b^2=c^2=(2-a-b)^2=4+a^2+b^2-4a-4b+2ab,
a+b=1+1/2ab,
ab≤(a+b)^2/4=(1+1/2ab)^2/4,
把a*b看做x