高三数学.抽象函数

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 08:31:51
定义在(0,+∞)上的函数f(x)对于任意的m,n属于(o,+∞)都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,且x>1时,f(x)<0

1)计算f(1)
2)证明f(x)在(O,+∞)上是减函数
3)当f(2)=-1/2时,解不等式f(x^2-3x)>-1

请各位大侠指教一下

(1)设mn都=1,那么f(1)=2f(1),所以f(1)=0
(2)设x2>x1>0
根据已知变式,f(mn)-f(n)=f(m),
所以f(x1x2)-f(x2)=f(x1)
因为x1>x2
所以x1x2>x2
而因为x1>0
所以f(x1)<0

即等效于f(a)-f(b)<0且a>b
因此根据定义,为减函数

(3)根据f(2)=-0.5,可以知道f(2*2)=f(2)+f(2)=-1,题设式子可变为,

f(x^2-3)>f(4)
根据f(x)为减函数,切定义域>0
可得方程组
0<x^2-3x<4

解得-1<x<0或3<x<4