以知a，b，c属于正实数，求证：a的立方+b的立方+c的立方大于等于三分之一倍的（a方+b 方+c方）（a+b+c）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/10 07:25:07
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我用这个a^3表示a的平方
a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)/3
<=>(等价于）3(a^3+b^3+c^3)>=a^3+b^3+c^3+a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
<=>2(a^3+b^3+c^3)>=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
<=>a^2(a-b)+a^2(a-c)+b^2(b-a)+b^2(b-c)+c^2(c-a)+c^2(c-b)>=0
<=>(a^2-b^2)(a-b)+(a^2-c^2)(a-c)+(b^2-c^2)(b-c)>=0
<=>(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2>=0
a,b,c>0,显然成立
原题得证

利用平均值不等式
n/(1/a1+....1/an)=<开n次方a1*a2*...an=<(a1+a2+a3...an)/n=<开平方(a12+a22.....)/2