已知x=(根号5+1)/2,求(x^3+x+1)/x^5的值.

(根号5-1)/2

x=(√5＋1)／2

x^2=(3+√5)/2

x^3=x*x^2=2+√5

x^5=x^3*x^2=(11+5√5)/2
1/x^5=(5√5-11)/2

x^3+x+1=2+√5+(√5+1)/2+1=(7+3√5)/2

(x^3+x+1)/x^5=(5√5-11)(7+3√5)/4=(√5-1)/2

原题即：设x=(√5+1)/2，求(x^3+x+1)/x^5的值。

解：由于x^2=[(√5+1)/2]^2=(6+2√5)/4=(3+√5)/2；
x^3=x^2×x=(3+√5)/2×(√5+1)/2=(8+4√5)/4=2+√5；
x^5=x^3×x^2=(2+√5)×(3+√5)/2=(11+5√5)/2；

则1/x^5=2/(11+5√5)=2(11-5√5)/(121-125)=(5√5-11)/2.............注：分母有理化

所以(x^3+x+1)/x^5
=(x^3+x+1)×1/x^5
=[2+√5+(√5+1)/2+1]×(5√5-11)/2
=(7+3√5)/2×(5√5-11)/2
=(2√5-2)/4
=(√5-1)/2