f(x)=(-1/3)x^3+2ax^2-(3a^2)x+b,x属于[a+1,a+2],|f '(x)|<a恒成立,求a取值范围.

这题很简单
利用数形结合！
先求出 f'(x)=-x^2+4ax-3a^2
令 g（x）=f'(x) (函数与方程思想）
得 g（a+1）=2a-1
g（a+2）=4a-4
g（x）是一个抛物线 与 x轴交点是 a和3a 顶点(2a,a^2)
下面进行讨论 （分层讨论思想）
1.当a^2>a时 得 a>1或者a<0（舍去），因为|f '(x)|<a，a必大于0；
由a>1得 a+1，a+2都大于a，小于3a，（可以想象一下图形，两点都在a与3a之间）
而g（a+1）=2a-1>a 所以不符合 |f'(x)|<a恒成立

2.当a^2<a时
得0<a<1
得a+1，a+2都大于3a
即两点都在3a的左侧
若使|f'(x)|<a成立
必须使 g（a+2）> -a
即 4a-4>-a
得 a>4/5
综上所述 得 a得取值范围为 （4/5，1）

哎，虽然大二了。数学思维仍然不错！！很有成就感，不错不错。又不会的可以联系一下！！723289118