设D由曲线y=√x及直线y=x围成,则 ∫∫e^(x/y)dxdy=?

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/15 03:51:17
设D由曲线y=√x及直线y=x围成,则 ∫∫e^(x/y)dxdy=?
书上的答案是(e/2)-1
二楼的你的积分过程好像错了,看不懂

曲线y=√x变为x=y²
∫∫e^(x/y)dxdy
=∫(0,1)∫(y²,y) e^(x/y)dxdy
先积里面的积分,将y看作常量
∫(y²,y) e^(x/y)dx
=[y*e^(x/y)] (y²,y)
=[y*e^(y/y)]-[y*e^(y²/y)]
=ye-ye^y
再积外面的
∫(0,1) (ye-ye^y)dy
先积前面的
∫eydy=ey²/2
后面的要用到分部积分法
∫ye^ydy=ye^y-∫e^ydy=ye^y-e^y=(y-1)e^y
所以∫(0,1) (ye-ye^y)dy
=[ey²/2-(y-1)e^y] (0,1)
=[e/2-(1-1)*e]-[0-(0-1)*1]
=(e/2)-1
----------------------------
(0,1)表示下限是0,上限是1

解:由题我们可知道两曲线在第一象限相交与点(0,0),(1,1),于是可先对x积分,然后再对y积分。
∫∫e^(x/y)dxdy= ∫(下限0,上限 1 )dy∫(下限 y^2,上限y)e^(x/y)dx = ∫(下限0,上限 1)(y e^(x/y))( 下限y^2,上限y)dy = ∫(下限0,上限 1 ) [y e - y e^y] dy = e/2 - [y e^y(下限0,上限1) -∫(下限0,上限1) e^y dy ] = e/2 - [e - e + 1 ] = e/2 - 1

一般解决此类问题,首先是画图(理科类的题目图形结合很重要,数学尤其重要),然后观察,找出最适合的着路点。
之前是做错了,谢谢提醒!