高一数学（必修5）

应该是1/(a-b)+1/(b-c))≤n/(a-c)吧
设a-b=p b-c=q
p>0 q>0
原式转为1/p+1/q≤n/(p+q)
1/p+1/q=(p+q)/pq
p+q>0
所以
n≥(p+q)^2/pq
又（p+q）^2>=4pq (因为（p-q)^2>=0 )又当p=q时取等号 且可以取到
所以 n≥4
n最小为4

a-b=x
b-c=y
a-c=x+y

1/x+1/y=(x+y)/xy≤=(x+y)/0.25(x+y)^2=4/(x+y)
n≥4

因为a>b>c
设a-b=x(x>0)
b-c=y(y>0)
a-c=x+y

故要使1/x+1/y <= n/(x+y)成立
必须 (x+y)/xy <= n/(x+y)成立
即 n >= (x+y)^2 /xy
又因为x+y>2*根号(xy)
则 (x+y)^2/xy>4xy/xy=4
所以n的最小值为4

题目有点奇怪，如果题目是1/（a-b)+1/（b-c)≤n/（a-c)的话，可这样解：
∵a＞b＞c
∴a-b＞0,b-c＞0,a-c＞0
由1/（a-b)+1/（b-c)≤n/（a-c)，化简得：
[（b-c+a-b)(a-c)]/[(a-b)(b-c)]≤n即
[(a-b)+(b-c)]^2/[(a-b)(b-c)]≤n
可令x=(a-b),y=(b-c),则上式可化为
(x+y)^2/xy≤n
由x^2+y^2≥2xy得(x+y)^2≥4xy
则有n≥[(x+y)^2/xy]≥4