初三的一道几何题:

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 19:01:18
已知矩形ABCD,其中AB=3,BC=4;今有一点P在对角线AC上运动,连结PB,过P点作PQ垂直于PB,Q为DC延长线上的一点.PQ交BC于E. 问:是否存在PB:PE=BC:CQ,若有,则求出此时PB的长?

存在。

延长BP交DC于点F,
因为∠FBC=∠FBC,∠BPE=∠BCF,
所以△BPE∽△BCF,
所以BP/BC=PE/CF, 所以BP/PE=BC/CF
因为∠FBC=∠PQF,∠BCF=∠QPF,
所以△BCF∽△QPF,
所以BC/PQ=CF/PF
所以BC/CF=PQ/PF
又因为∠Q=∠Q,∠QEC=∠QFP,
所以△ QEC∽△QFP,
所以QC/PQ=EC/FP, 所以CQ/EC=PQ/PF,
所以CQ/EC=PQ/PF=BC/CF=BD/PE
所以PE/PB=CQ/BC
即：PB:PE=BC:CQ