高二数学问题 解析几何

假设抛物线上存在那样的两个点 (p,q), (r,s)
它们关于 y = mx 对称。则

(q+1)^2 = p+1
(s+1)^2 = r+1
(s-q)/(r-p) = -1/m （两点联线与y=mx直线垂直，斜率互为负倒数）
(q+s)/2 = m*(p+r)/2 （两点联线的中点在 y =mx上）

前面的两个式子代入到后面的2个式子中。消 p r
(s-q)/[(q+1)^2 - (s+1)^2] = 1/m
q+s = m*[(q+1)^2 + (s+1)^2 -2]

化简
(q+s+2)(q-s)/(s-q) = m
q+s = m(q^2 + 2q + s^2 + 2s)

从 抛物线 (y+1)^2 = x + 1 的函数图象判断，当存在 s=q 的那样两点时，所求直线是 y = -1 。除此情况之外，上面第一个式子进一步化简为
q+s+2 = -m

以 q = -(m+s+2) 代入另一个式子
-m-2 = m*[(m+s+2)^2 - 2(m+s+2) + s^2 + 2s]

整理
-m-2 = m*(m^2 + s^2 + 4 + 2ms + 4m + 4s - 2m - 2s - 4 + s^2 + 2s)

-m-2 = m*[2s^2 + 2(m+2)s + m^2 + 2m]
2ms^2 + 2m(m+2)s + m^3 + 2m^2 + m + 2 = 0

若存在那样两点，则 关于s的方程有两个解。这两个解归 s 和 q 共同所有。判别式大于0。

判别式 = [2m(m+2)]^2 - 4*2m*(m^3 + 2m^2 + m+2)
= 4m^4 + 16m^3 + 16m^2 - 8m^4 - 16m^3 - 8m^2 - 16m
= -4m^4 + 8m^2 - 16m
= -4m*(m^3 - 2m + 4)
= -4m*(m+2)(m^2 -2m + 2)