在正方形ABCD中有一点P,联结PA,PB,PC,且PA=1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD的面积

本题用旋转法可以巧解。

解：将△PBC绕B点逆时针旋转90°至BC与AB重合，得到一个新的△AQB，可知：BQ=PB=2，QA=PC=3，∠ABQ=∠PBC，
由于∠PBC+∠ABP=90°，所以∠PBQ=∠ABQ+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°，则△PBQ是一个等腰直角三角形，
故：∠BPQ=45°，

由勾股定理，得:PQ^2=PB^2+BQ^2=2^2+2^2=8，

另外，在△APQ中，PA^2+PQ^2=1^2+8=9=QA^2，由勾股定理知：△APQ是一个以∠APQ为直角的直角三角形，即∠APQ=90°。

综上得：∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°+45°=135°。

AB^2=PA^2+PB^2-2PA*PB*cosAPB=1+4-2*1*2*(-根号2/2）
=5+2根号2

即正方形的面积是：5+2根号2

设边长为X
cos∠ABP=(x^2+3)/4x
cos∠CBP=(x^2-5)/4x

∠CBP为锐角
所以sin∠CBP）＾2=1-(cos∠CBP)^2
(sin∠CBP)^2=(-x^4+26x^2-25)/16x^2
因为
∠ABP+∠CBP=90度
所以(sin∠CBP)^2＝（cos∠ABP）＾2

x^4-10x^2+17=0
x^2=5±2√2
正方形的面积＝x^2=5±2√2

以B为圆心，把BCP绕顺时针方向转，使BC与AB重合。
点P落在点Q上，连接QP。
所以BQ=BP=2，AQ=PC=3
因为角CBP=角ABQ，所以角QBP=90度
所以QP=2*根号2，角QPB=45度
在三角形APQ中，AP=1，AQ=3，QP=2根号2
即AP平方+QP平方=AQ平方（不难看出吧）
所以角APQ=90度
所以角APB=角APQ+角QPB=90+45=135度
根据余玄定理 cos135=（1^2